Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Примеры решения задач контрольной работы по математике

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными  и над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать  где знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой которая называется универсальной.

Действительно, 

Поэтому

где рациональная функция от Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

Пример 40. Вычислить интеграл Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых

Пример 45. Вычислить интеграл

Вычисление площадей плоских фигур.

Пример 57. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями    

Пример 60. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

Пример 63. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной эллипсом  вокруг оси

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:

1) если функция нечетна относительно  то есть то подстановка  рационализирует интеграл;

2) если функция  нечетна относительно то есть то делается подстановка

3) если функция четна относительно  и  то интеграл рационализируется подстановкой  

Для нахождения интегралов типа  используются следующие приемы:

1) подстановка  если целое положительное нечетное число;

2) подстановка  если целое положительное нечетное число;

3) формулы понижения порядка: 

  если  и целые неотрицательные четные числа;

4) подстановка  если есть четное отрицательное целое число.

Интегралы типа    вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

Пример 32. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся универсальной подстановкой  Тогда  Следовательно,

Возвращаясь к переменной интегрирования  получим

Пример 33. Найти интеграл

Решение. Так как  то полагаем    тогда

Данный интеграл примет вид:

Возвращаясь к данной переменной интегрирования получим:

Пример 34. Найти интеграл

Решение. Так как

то воспользуемся подстановкой

Тогда получим интеграл

Вернемся к исходной переменной

Пример 35. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция   Воспользуемся подстановкой  тогда    Получим интеграл

Переходя к данной переменной интегрирования  получим

Пример 36. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию

Воспользуемся формулой понижения порядка для первого множителя:

Получили интеграл:

Рассмотрим первый интеграл:

Во втором интеграле положим  тогда   

Подставляя полученные результаты, имеем

Пример 37. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся формулой

Пример 38. Найти интеграл

Решение. Применяя формулу

 получим 

 Пример 39. Найти интеграл  

Решение. Используя формулу  получим

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1.  2.   3.  4.

5.  6.   7.

8.  9.   10.

11.  12.   13.

14.  15.

Ответы. 1.  2.

3.  4.   5.

6.  7.   8.

9.  10.

11.12.   13. 

14.  15.

Учебник На главную