Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Примеры решения задач контрольной работы по математике

Пример 14. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями y, z = 0, z = a и цилиндром .

Решение. Область V (рис. 35) данного интеграла ограничена «снизу» плоскостью z = 0, а «сверху» – плоскостью z = a. Эта область проектируется в область D плоскости х0у (рис. 36), ограниченную прямой у = 0 и окружностью . Введем цилиндрические координаты

, z = z.

Так как , то

.


В области V координата j меняется от 0 до , r – от 0 до r = 2cos j (рис. 36), z – от плоскости z = 0 до плоскости z = a.

Таким образом,

.

Пример 16. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у = 0, цилиндром  и конусом .

Криволинейные и поверхностные интегралы

Пример 1. Вычислить  по отрезку прямой, соединяющему точки  и .

Пример 4. Вычислить , где L – дуга параболы , пробегаемая от точки  до .

Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

Пример 7. Вычислить , где  – окружность , пробегаемая против хода часовой стрелки.

Пример 10. Вычислить , где  – внешняя сторона части сферы

Пример 12. Вычислить линейный интеграл векторного поля вдоль прямолинейного отрезка , где  и .

Пример 15. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и сферой .

Решение. Область V (рис. 37) ограничена «снизу» плоскостью z = 0, «сверху» – сферой . В сферических координатах , поэтому по формуле (58)


.

Очевидно, что в области V j меняется от 0 до , q – от 0 до , r – от 0 до а, так как уравнение сферы принимает вид  или r = a. Тогда имеем

.

Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся подстановкой :

.

Таким образом,

.

Учебник На главную