Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Примеры решения задач контрольной работы по математике

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей

1. Вычислить площадь фигуры ограниченной эвольвентой круга, заданной уравнениями: .

Подпись: 			     M



	B	        r
		         T
	        t       q
	        0        A
	        
		         T

 


Эвольвентой круга называется кривая, для которой окружность служит разверткой, т. е. геометрическим местом центров кривизны. Ее можно рассматривать как траекторию, описываемую точкой A при качении прямой T по кругу. Условие качения без скольжения дает: , , следовательно, . Из  находим полярный радиус — вектор OM.

Т. к. BM есть касательная, то .

Кроме того, , т. е. , откуда , т. е.   ; .

Определенный интеграл от ограниченной функции Вычислить определенные интегралы по определению

Вычисление определенных интегралов из геометрических соображений

Функция задана параметрическими уравнениями

Длина дуги плоской кривой Вычислить длину дуги кривой  от точки  до точки .

Объемы тел вращения Вычислить объем эллипсоида вращения вокруг оси Ох.

2. Вычислить площадь, ограниченную лемнискатой

.

Подпись: 		  y


			          x

Перейдем к полярным координатам  , тогда уравнение кривой примет вид: .

Тогда .

Очевидно, из уравнения , что в первой четверти  изменяется до , следовательно, вся площадь равна .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной декартовым листом .

Подпись: 		   y



			          x

Полагая  , находим полярное уравнение

 

(делим почленно на ; )

= .

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

Подпись: 	        y

		r
		  q
		2a	       x


.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной цепной линией .

.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной равнобочной гиперболой.

Подпись:            y




			       x
	      x1         x2
Уравнение гиперболы  или .

.

Вычислить площади следующих фигур:

1. Площадь трапеции, ограниченной дугой параболы , прямыми ,  и отрезком оси Ох.

2. Площадь трапеции, ограниченной дугой параболы  и отрезком прямой .

3. Площадь фигуры, ограниченной кривыми  и .

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой .

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой , , прямыми ,  и осью Ох.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , прямыми ,  и осью Ох.

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ,  и осью .

8. Найти площадь фигуры, ограниченной аркой циклоиды ,  и осью абсцисс.

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой , .

10. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой .

Учебник На главную