Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Примеры решения задач контрольной работы по математике

Физические приложения определённого интеграла

Вычисление статических моментов

Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

Решение. Выберем центр окружности в качестве начала координат, а диаметр расположим по оси Ох. Тогда ,

где  — дифференциал длины дуги кривой .

Уравнение полуокружности

.

2. Найти статический момент прямоугольника с основанием  и высотой  относительно его сторон.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось  совпала с основанием, а начало координат — с вершиной прямоугольника, ось Оу совпала с высотой прямоугольника. Тогда , в нашем случае .

Вычисление координат центра тяжести. Теоремы Гюльдена Найти координаты центра тяжести цепной линии  между  и .

Задачи на нахождение работы и давления Найти давление на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен , а верхний диаметр лежит на свободной поверхности воды.

Однородные дифференциальные уравнения

Уравнение Бернулли

Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка. Определить тип дифференциального уравнения и указать в общем виде метод его решения:

Пример. Решить задачу Коши .

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида. Метод подбора или метод неопределенных коэффициентов.

Пример 19. Решить методом Коши .

По условию задачи составить дифференциальное уравнение и решить его. Дифференциальные уравнения являются математической моделью реальных процессов. При составлении д.у. мы пользуемся законами конкретных наук, таких как физика, химия, биология, экономика. Рассмотрим несколько примеров.

Для вычисления  следует принять за независимую переменную при , но это приведёт к виду , который подстановкой  приводится к , но проще опять выразить через ,
т. е.  и по подстановке  приведём к . Обозначим , т. е.

  при ,  и при , , так что

.

Исходный интеграл будет

Но т. к.  не существует, то возможен только , т. е. окончательно

.

3. Найти статический момент тела, ограниченного одной аркой циклоиды  относительно оси Ох.

Решение. Параметр для одной арки циклоиды изменяется от до .

Найти статические моменты:

Дуги эллипса , расположенной в первой четверти относительно осей Ох и Оу.

Дуги параболы  относительно осей Ох и Оу от  до .

Дуги астроиды , лежащей в первой четверти относительно оси Оу.

Дуги косинусоиды  от  до  относительно оси Ох.

Фигуры, ограниченной следующими линиями:

а)  и  относительно оси Ох;

б)  и  относительно оси Ох.

Прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом, равным , относительно этого катета.

Учебник На главную