Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Контрольная по математике. Решение задач

Лекция
ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ МНОЖЕСТВА

Ограниченные и неограниченные множества

Введём ряд нужных в дальнейшем понятий и изучим некоторые свойства числовых множеств.

Если для подмножества X действительных чисел существует такое число b, что оно не меньше каждого числа xÎX, т. е. для любого xÎX выполняется неравенство x£b, то множество X называется ограниченным сверху, а число b – числом, ограничивающим сверху множество X.

С помощью логических символов определение ограниченного сверху множества записывается в виде:

X ограничено сверху Û $bΡ "xÎX: x£b;

отсюда

X не ограничено сверху Û "bΡ $xÎX: x>b,

т. е. множество X не ограничено сверху, если, каково бы ни было число bΡ, найдётся такое число xÎX, что x>b.

Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.

Заметим, что если число b ограничивает сверху множество X, то любое число, большее b, также ограничивает сверху множество X.

Если $bÎX "xÎX: x£b, то число b называется наибольшим или максимальным числом множества X.

Очевидно, что, если во множестве X имеется наибольшее число, то оно единственно, а само множество X в этом случае ограничено сверху этим числом.

Аналогично множеству, ограниченному сверху, определяется множество, ограниченное снизу.

Если для подмножества X действительных чисел существует такое число a, что оно не больше каждого числа xÎX, т. е. для любого xÎX выполняется неравенство a£x, то множество X называется ограниченным снизу, а число a – числом, ограничивающим снизу это множество.

Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.

С помощью логических символов определение ограниченного снизу множества записывается в виде:

X ограничено снизу Û $aΡ "xÎX: x³a;

отсюда

X не ограничено снизу Û "aΡ $xÎX: x<a,

т. е. множество X не ограничено снизу, если, каково бы ни было число aΡ, найдётся такой элемент xÎX, что x<a.

Очевидно, что если число a ограничивает снизу множество X, то и любое число a'<a также ограничивает снизу это множество.

Если $aÎX "xÎX: a£x, то число a называется наименьшим или минимальным числом множества X.

Если во множестве X имеется наименьшее число, то оно единственно, а само множество X в этом случае ограничено снизу этим числом.

Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством.

Другими словами, множество XÌ¡ называется ограниченным, если существуют такие числа a и b, что для любого xÎX выполняется неравенство a£x£b.

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Очевидно, что неограниченное множество может быть неограниченным и сверху и снизу или только сверху или снизу.

3.2. Верхняя и нижняя грани числовых множеств

Рассмотрим произвольное множество XÌ¡.

Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество XÌ¡, называется его верхней гранью и обозначается sup X (от лат. supremum наибольший).

Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество XÌ¡, называется его нижней гранью и обозначается inf X (от лат. infimum наименьший).

Иногда верхнюю (нижнюю) грань множества называют точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Если во множестве существует наибольшее (наименьшее) число, то оно является верхней (нижней) гранью этого множества. В частности, такая ситуация имеет место для конечных множеств: любое конечное множество чисел имеет наибольшее и наименьшее числа, а потому нижнюю и верхнюю грани.

Выясним теперь вопрос: всегда ли у числового множества существует его верхняя (нижняя) грань? Если множество ограничено сверху (снизу), то ответ дается следующей теоремой.

Теорема 2. Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Доказательство. Пусть X – ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через Y множество всех чисел, ограничивающих сверху множество X. Множество X ограничено сверху, поэтому множество Y не пусто. Каждый элемент yÎY ограничивает сверху множество X, т. е. для любого элемента xÎX выполняется неравенство x£y. Элементы x и y являются произвольными элементами соответственно множеств X и Y, поэтому, в силу свойства V непрерывности действительных чисел, существует такое число b, что для любых xÎX и yÎY имеет место неравенство x£b£y.

Первая часть этого неравенства означает, что b является числом, ограничивающим множество X сверху, а вторая часть означает, что из всех таких чисел b является наименьшим числом. Тем самым установлено, что b = sup X.

Доказательство для нижней грани проводится по аналогии. □*

Теорема о существовании верхних и нижних граней принадлежит к так называемым чистым теоремам существования: в ней доказывается, что при определённых условиях у множества существует верхняя (нижняя) грань. Однако из рассуждений, проведённых при доказательстве этой теоремы, не следует способ нахождения этих граней в конкретном случае. В действительности задача нахождения верхней (нижней) грани множества, заданного какими-либо своими свойствами, может оказаться очень трудной задачей.

Если множество не ограничено сверху (снизу), то, как уже отмечалось, никакое число не может являться его верхней (нижней) гранью, так как вообще нет чисел, которые его ограничивают сверху (снизу). Для удобства вводится следующее определение.

Верхней гранью неограниченного сверху числового множества называется +¥, а нижней гранью неограниченного снизу числового множества называется –¥.

Удобство этого определения состоит в том, что теперь каждое непустое числовое множество имеет верхнюю (нижнюю) грань, принадлежащую расширенному множеству действительных чисел.

Контрольные вопросы

1. Используя логические символы, запишите определение ограниченного сверху (снизу) и неограниченного сверху (снизу) множества.

2. Дайте определение верхней (нижней) грани числового множества.

3. Сформулируйте и докажите теорему о существовании верхней и нижней грани числового множества.

4. Даёт ли указанная теорема алгоритм вычисления верхней (нижней) грани числового множества?


На главную