Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Контрольная по математике. Решение задач

Лекция
Определение подпоследовательности

Рассмотрим теперь, наряду с последовательностью xn, какую-либо извлечённую из нее частичную последовательность (или подпоследовательность)

 , (8.1)

где {nk} есть некоторая последовательность возрастающих натуральных чисел:

 

Здесь роль номера, принимающего последовательно все натуральные значения, играет уже не n, а k; nk же представляет собой последовательность, принимающую натуральные значения и, очевидно, стремящуюся к +¥ при возрастании k.

Теорема 9. Если последовательность xn имеет определённый предел a (конечный или нет), то тот же предел имеет и подпоследовательность (8.1).

Доказательство. Остановимся на случае конечного a. Пусть для заданного любого e > 0 нашлось такое число N = N(e), что при n > N уже выполняется неравенство:

 .

Ввиду того, что nk ® ¥, существует и такой номер K, что при k > K будет nk > N. Тогда, при тех же значениях k, будет выполняться неравенство

 ,

что и доказывает наше утверждение. Случай бесконечного предела доказывается аналогично. □

Если последовательность xn не имеет предела, то это не исключает возможности существования предела для какой-либо подпоследовательности (8.1). Такой предел называют частичным пределом последовательности xn.

Пример. .

8.2. Теорема Больцано–Вейерштрасса

Всегда ли для последовательности xn существуют частичные пределы? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

Теорема 10 (Больцано–Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности xn всегда можно извлечь такую подпоследовательность (10), которая сходилась бы к конечному пределу.

Доказательство. Пусть все числа xn заключены между границами a и b. Разделим этот отрезок  пополам, тогда хоть в одной половине будет содержаться бесконечное множество элементов данной последовательности, ибо, в противном случае, и во всем отрезке  этих элементов содержалось бы конечное число, что невозможно. Итак, пусть  будет та из половин, которая содержит бесконечное множество чисел xn (или, если обе половины таковы, то – любая из них).

Аналогично, из отрезка  выделим его половину  – при условии, чтобы в ней содержалось бесконечное множество чисел xn, и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, на k-й стадии его выделим отрезок , также содержащий бесконечное множество чисел xn.

Каждый из построенных отрезков (начиная со второго) содержится в предыдущем, составляя его половину. Кроме того, длина k-го отрезка, равная

 ,

стремится к нулю с возрастанием k. Применяя лемму о вложенных отрезках, заключаем, что ak и bk стремятся к общему пределу c.

Теперь построение частичной последовательности  произведём следующим образом. В качестве  возьмём любой (например, первый) из элементов xn нашей последовательности, содержащихся в . В качестве  возьмём любой (например, первый) из элементов xn следующих за  и содержащихся в , и т. д. Вообще, в качестве  возьмём любой (например, первый) из элементов xn, следующих за ранее выделенными  и содержащихся в . Возможность такого выбора, производимого последовательно, обусловливается именно тем, что каждый из отрезков   содержит бесконечное множество чисел xn, т. е. содержит элементы xn со сколь угодно большими номерами.

Далее, так как

 ,

то по теореме 5 . □

8.3. Наибольший и наименьший пределы

Итак, для любой последовательности xn, будь она ограничена или нет, существуют частичные пределы. Можно показать, что среди этих частичных пределов обязательно найдутся наибольший и наименьший; они называются наибольшим и наименьшим пределами самой последовательности xn и обозначаются соответственно через

 .

Теорема 11. Наибольший и наименьший пределы последовательности всегда существуют. Их равенство есть условие, необходимое и достаточное, для существования предела последовательности.

Пример. Пусть pn – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +¥, и qn – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к –¥. Доказать, что

 .

Решение. Рассмотрим предел

 .

Пусть nk – произвольная подпоследовательность натуральных чисел, стремящаяся к +¥. Тогда, по теореме 11, имеем

 .

Пусть теперь pk – произвольная числовая последовательность, pk > 1, стремящаяся к +¥. Тогда существует такая последовательность натуральных чисел nk, что nk £ pk < nk+1 и nk ® +¥. Так как левая и правая части неравенства

 

стремятся к e, то

 .

Если произвольная последовательность чисел qk, –qk>1, стремится к –¥, то, полагая qk=–pk, получаем

 . □


ФУНКЦИИ

Понятие функции

Понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и её приложениях. В курсе математического анализа будут сначала изучаться только действительные функции одного действительного аргумента, т. е. функции .

Пусть заданы числовые множества X, Y и некоторое правило f, ставящее в соответствие каждому элементу множества X единственный элемент множества Y. В таком случае говорят, что на множестве X задана функция f, множеством значений которой является множество Y.

Над функциями можно производить различные арифметические операции. Если даны две числовые функции f и g, определённые на одном и том же множестве X, а с – некоторое число (или, как часто говорят, константа), то функция cf определяется как функция, принимающая в каждой точке xÎX значение сf(х); функция f+g – как функция, принимающая в каждой точке xÎX значение f(х) + g(х); fg – как функция, в каждой точке принимающая значение f(х)g(х); наконец, f/g – как функция, в каждой точке xÎX равная f(х)/g(х) (при g(х) ¹ 0).

Числовая функция f, определённая на множестве X, называется ограниченной сверху (снизу), если множество её значений ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, функция X ограничена сверху (снизу), если существует такая постоянная М, что для каждого xÎX выполняется неравенство f(х)£М (соответственно f(х)³М).

Функция f, ограниченная на множестве X как сверху, так и снизу, называется ограниченной на этом множестве.

Верхняя (нижняя) грань множества значений Y числовой функции у = f(х), определённой на множестве X, называется верхней (нижней) гранью функции f и обозначается

  .

Будем говорить, что числовая функция f, определённая на множестве X, принимает в точке x0ÎX наибольшее значение (наименьшее), если f(х) £ f(х0) (соответственно f(х)³f(х0)) для каждой точки xÎX. В этом случае будем писать  или  (соответственно  или ).

Наибольшее (наименьшее) значение функции называется также ее максимальным (минимальным) значением. Максимальные и минимальные значения называются экстремальными.

Очевидно, что если функция f принимает в точке x0 наибольшее (наименьшее) значение, то   (соответственно ).

9.2. Способы задания функции

Рассмотрим различные способы задания функций.

Прежде всего, функции могут задаваться с помощью формул: аналитический способ. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход.

Примеры. 1. Функция sign х (от лат. signum знак) может быть записана с помощью нескольких формул:

 

2. Каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному – число нуль. Полученная функция называется функцией Дирихле.

Второй способ задания функции – графический. Наглядность графика делают его незаменимым вспомогательным средством исследования свойств функции.

Функцию можно задать еще третьим способом – с помощью таблиц, т. е. для некоторых значений переменной х указать соответствующие значения переменной у. Данные таблиц могут быть получены как непосредственно из опыта, так и с помощью тех или иных математических расчётов.

Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналитические способы задания функции.

Неявные функции. Пусть дано уравнение вида

 ,  (9.1)

т. е. задана функция F(x, у) двух действительных переменных x и у, и рассматриваются только такие пары x, у (если они существуют), для которых выполняется условие (9.1)).

Пусть существует такое множество X, что для каждого x0ÎX существует, по крайней мере, одно число у, удовлетворяющее уравнению F(x0, у) = 0. Обозначим одно из таких чисел через y0 и поставим его в соответствие числу x0ÎX. В результате получим функцию f, определённую на множестве X и такую, что F(x0, f(x0)) = 0 для всех x0ÎX. В этом случае говорят, что функция f задаётся неявно уравнением (1). Одно и то же уравнение (1) задаёт не одну, а некоторое множество функций.

Функции, неявно задаваемые уравнениями вида (1), называются неявными функциями в отличие от функций, задаваемых формулой, разрешённой относительно переменной у, т. е. формулой вида у = f(х).

Термин «неявная функция» отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ её задания. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно.

Сложные функции. Напомним, что если заданы функции у = f(х) и z = F(y), причём область определения функции F содержит область значений функции f, то каждому х из области определения функции f естественным образом соответствует z такое, что z = F(y), где у = f(x). Эта функция, определяемая соответствием z = F[f(x)], называется, как известно, сложной функцией или композицией (суперпозицией) функции f и F и обозначается через F°f, т. е. .

Сложная функция отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ её задания.

Обратные функции. Пусть задана функция f: X®Y и Yf – множество её значений. Совокупность всевозможных упорядоченных пар вида , образует функцию, которая называется обратной функцией для функции f и обозначается через . Обратная функция  ставит в соответствие каждому элементу  его прообраз , т. е. некоторое множество элементов. Тем самым обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией. Отображения f и  называются взаимно обратными.

9.3. Элементарные функции

Функции: постоянная у = с, с – константа, степенная у = xp, показательная у = aх (а>0), логарифмическая у = logaх (а>0, a¹1), тригонометрические у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х и обратные тригонометрические у = arcsin х,
у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х, а также гиперболические:

 

– называются основными элементарными функциями.

Пример. Показать, что

 .

Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций основных элементарных функций, называется элементарной функцией.

Под областью существования элементарной функции обычно понимают множество всех действительных чисел x, для которых, во-первых, формула, задающая рассматриваемую элементарную функцию, имеет смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой формуле получаются только действительные числа.

Элементарные функции обычно делят на следующие классы.

1. Многочлены (полиномы, целые рациональные функции). К многочленам относятся функции, которые могут быть заданы формулами вида

 .

Числа a0, a1, ... , an называются коэффициентами многочлена Pn(х).

Если an ¹ 0, то число n называется степенью данного многочлена. Многочлены первой степени называются также линейными функциями. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым многочленом.

2. Дробно-рациональные функции (рациональные дроби). К этому классу относятся функции, которые могут быть заданы в виде

 ,

где Р(х) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) – ненулевой многочлен.

Заметим, что класс многочленов содержится в классе дробно-рациональных функций.

3. Иррациональные функции.

Иррациональной называется функция, не являющаяся рациональной, которая может быть задана с помощью композиций конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырёх арифметических действий.

4. Трансцендентные функции. Элементарные функции, не являющиеся ни рациональными, ни иррациональными, называются трансцендентными элементарными функциями. Можно показать, что все прямые и обратные тригонометрические функции и показательная и логарифмическая функции являются трансцендентными функциями.


На главную