Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Контрольная по математике. Решение задач

Лекция
КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Существование предела монотонной функции

Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.

Функция   называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если для любых таких точек x1ÎX и x2ÎX, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2) (соответственно неравенство f(x1) > f(x2)).

Если же для любых точек x1ÎX и x2ÎX, x1 < x2, выполняется неравенство f(x1)£f(x2) (соответственно неравенство f(x1) ³ f(x2)), то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) – но в широком смысле.

Возрастающие и убывающие на множестве X функции называются монотонными на этом множестве.

Теорема 4. Пусть функция  – неубывающая на (a, b), где, в частности, может быть . Если она ограничена сверху числом M, то существует конечный предел . Если же она не ограничена сверху, то .

Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке a у неё существует конечный предел справа, а если f не ограничена снизу, то .

Подобные утверждения справедливы и для убывающих функций; их можно получить, перейдя от функции f к функции –f.

Доказательство. Из ограниченности f следует существование конечной точной верхней грани . Таким образом, , и для всякого e > 0 существует  такое, что . Но в силу того, что f не убывает, . Таким образом, для любого e>0 можно указать  такое, что  для всех x, удовлетворяющих неравенствам . Это и значит, что .

Пусть теперь неубывающая функция f не ограничена сверху. Тогда для любого M существует  такое, что M < f(x1), и вследствие того, что f не убывает на X,

 ,

а это и говорит о том, что . □

17.2. Критерий Коши существования предела функции

В настоящем пункте по аналогии со случаем последовательностей будет получено необходимое и достаточное условие того, что функция имеет конечный предел в данной точке x0.

Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы функция  имела в точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовало такое d>0, что для любых x1ÎX и x2ÎX, удовлетворяющих условиям , выполнялось неравенство

  .

Если же x0=¥, то критерий Коши имеет следующий вид:

для любого e > 0 существует такое d > 0, что для любых x1ÎX и x2ÎX,
удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство .

Доказательство. Необходимость. Пусть  и . Это означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек  справедливо неравенство

 .

Выберем x1ÎX и x2ÎX так, чтобы выполнялись условия . Тогда имеем

 . □

Достаточность. Пусть функция  такова, что для любого e > 0 существует такая окрестность точки x0, что для всех точек  из этой окрестности справедливо неравенство

 .

Покажем, что отсюда следует существование у функции f конечного предела в точке x0. Возьмём какую-либо последовательность  и произвольно зададим e>0. Для этого e, согласно сделанному предположению, существует такая окрестность точки x0, для всех точек  из которой справедливо неравенство

 .

Поскольку последовательность xn сходится к x0, существует такое N, что все xn при n > N попадают в указанную окрестность точки x0. Поэтому для всех n > N, m > N

 ,

т. е. числовая последовательность  удовлетворяет условиям критерия Больцано–Коши для числовых последовательностей и, следовательно, сходится.

Таким образом, для каждой последовательности , последовательность  сходится. Отсюда, как известно, следует существование конечного предела . □

Доказательства для бесконечно удалённой точки x0 проводится по аналогии.

Лекция 18
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ КОМПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим вопрос о существовании конечных и бесконечных пределов композиции функций, каждая из которых имеет соответствующий предел.

Если  и выполнено условие , то на множестве X определена композиция  функций f и g или, как говорят, сложная функция . Рассматриваемые ниже пределы  и  могут быть конечными или бесконечными, а x0 и y0 – конечными или бесконечно удалёнными точками прикосновения множеств X и f(X) соответственно.

Теорема 6. Пусть  и существуют конечные или бесконечные пределы

  ; (18.1)

 ,  (18.2)

тогда при x®x0 существует и предел (конечный или бесконечный) сложной функции , причём

 .

Следствие. Если  и функция f непрерывна в точке , а функция g непрерывна в точке , то сложная функция  непрерывна в точке x0.

Короче (но менее точно), непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна.

Доказательство. Обозначим значение предела (18.2) через z0:  (z0 – число, либо одна из бесконечностей) – и зафиксируем произвольным образом окрестность U = U(z0) точки z0. Тогда, согласно определению предела, существует такая окрестность V = V(y0) точки y, что если

, (18.3)

то  . (18.4)

Далее, для полученной окрестности V(y0), в силу существования предела (18.1), найдётся такая окрестность W=W(x0), что если

  , (18.5)

то ,

а так как , то

 . (18.6)

Из выполнения условий (18.5)-(18.6), в силу (18.3)-(18.4), при  имеем: если выполнено включение (18.5), то

 .

Так как окрестность U(z0) точки z0 была произвольна, то это означает, что при x®x0 у функции  существует предел, равный z0:

  . □

Утверждение следствия является частным случаем теоремы, когда  и  (при этих предположениях точки x0 и y0 принадлежат соответственно множествам X и Y, поэтому являются их точками прикосновения):

  .

Замечание. Утверждение следствия теоремы 6 можно записать в виде формулы

 , (18.7)

из которой видно, что операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции.

В самом деле, левая часть равенства (18.7), в силу непрерывности функции   в точке x0 (см. следствие теоремы 6), равна . Этому же значению  равна и правая часть равенства, но уже в силу непрерывности функции f в той же точке x0.

Можно показать, что все рассмотренные ранее элементарные функции и их суперпозиции непрерывны на области их определения.


На главную