Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Контрольная по математике. Решение задач

Лекция
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Ограниченность непрерывных на отрезке функций

Функция , называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке множества X.

Важным классом непрерывных функций является класс функций, непрерывных на промежутках числовой оси. Начнём его изучение с функций, непрерывных на отрезках. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то её непрерывность в точке x=a означает непрерывность справа, а её непрерывность в точке x=b – непрерывность слева.

Наибольшим  (наименьшим ) значением функции  называется наибольшее (наименьшее) значение множества всех её значений. Очевидно, что если у функции f существует наибольшее (наименьшее) значение, то оно является её верхней (нижней) гранью  (соответственно ).

Теорема 7 (теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке функция
ограничена и принимает на нём наибольшее и наименьшее значение.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и пусть ; как и всякая верхняя грань непустого множества чисел, M может быть либо конечной, либо бесконечной, равной +¥. Покажем, что M<+¥ и что существует такая точка , что .

Выберем какую-либо последовательность таких чисел an, что

 . (19.1)

Согласно определению верхней грани функции для каждого an существует такая точка , что

 . (19.2)

С другой стороны, поскольку M – верхняя грань функции f, для всех точек   справедливо неравенство

 .  (19.3)

Последовательность  ограничена:  для всех n, поэтому по теореме Больцано–Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность

 .  (19.4)

Так как  для всех k, то и , т. е. x0 – точка отрезка [a, b].

Из неравенств (19.2) и (19.3) следует, что для всех k справедливы неравенства

 . (19.5)

Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей
конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательности; поэтому из (19.1) имеем . Переходя в (19.5) к пределу при k®¥,
получаем

 . (19.6)

С другой стороны, в силу непрерывности функции f на отрезке [a, b], она непрерывна в точке x0 этого отрезка и, таким образом, из (19.4) следует, что

 . (19.7)

Из формул (19) и (20) имеем .

Таким образом, доказано, что верхняя грань M функции f совпадает со значением функции в точке x0 и, следовательно, конечна. Тем самым функция f
ограничена сверху, и её верхняя грань достигается в точке .

Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает на нём своей нижней грани. □

Пример. Показать, что на интервале непрерывная функция может быть неограниченной и не достигать верхней (нижней) грани.

19.2. Промежуточные значения непрерывных на отрезке функций

Теорема 8 (теорема Больцано–Коши). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и , то для любого C, заключённого между A и B, существует такая точка, , что .

Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними значение.

Доказательство. Пусть для определённости  и A < C < B. Разделим отрезок [a, b] точкой x0 на два равных по длине отрезка; тогда либо  и, значит, искомая точка x = x0 найдена, либо  и тогда на концах одного из полученных отрезков функция f принимает значения, лежащие по разные стороны от числа C, точнее – на левом конце значение, меньшее C, на правом – большее.

Обозначим этот отрезок [a1, b1] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т. д. В результате либо через конечное число придём к искомой точке x, в которой , либо получим последовательность вложенных отрезков [an, bn], по длине стремящихся к нулю и таких, что

 . (19.8)

Пусть x – общая точка всех отрезков [an, bn]. Как известно, . Поэтому, в силу непрерывности функции f,

 . (19.9)

Из (19.8) же получим

 . (19.10)

Из (19.9) и (19.10) следует, что . □

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

Это следствие – частный случай теоремы (см. рисунок).

Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и . Тогда функция f принимает все значения из отрезка [m, M] и только эти значения.

Для доказательства следствия заметим, что если , то  и, согласно теореме 7, существуют такие точки , что . Теперь рассматриваемое следствие непосредственно вытекает из теоремы 8, применённой к отрезку [ab], если a£b, или, соответственно, к отрезку [ba], если a>b.

Таким образом, множество всех значений функции, заданной и непрерывной на некотором отрезке, представляет собой также отрезок.

Лекция 20
ПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Функция f, определённая на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любых двух чисел x1ÎX и x2ÎX таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2) (соответственно f(x1)>f(x2)).

Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной.

Лемма 6. Пусть функция f строго возрастает (убывает) на некотором множестве XÌ¡ и пусть Y – множество её значений. Тогда обратная функция f является однозначной строго возрастающей (строго убывающей) функцией на множестве Y.

Доказательство. Пусть для определённости функция f строго возрастает на множестве X. Докажем, что обратная функция однозначна.

Допустим противное. Пусть существует такая точка yÎY, что множество  содержит, по крайней мере, две различных точки x1 и x2:

 ,

и, следовательно,

 . (20.1)

Для двух чисел x1 и x2, x1 ¹ x2 справедливо одно из двух неравенств: x1<x2 или x1 > x2; в первом случае, в силу строгого возрастания функции f, имеем f(x1) < f(x2), а во втором f(x1) > f(x2), т. е. в обоих случаях равенство (20.1) не выполняется. Таким образом, для каждого yÎY множество  состоит в точности из одной точки, т. е. функция  однозначна.

Докажем теперь, что функция  строго возрастает на множестве Y. Пусть

  (20.2)

и пусть . Следовательно, . Для любых двух чисел x1 и x2 справедливо одно из трёх соотношений: либо x1 > x2, либо x1 = x2, либо x1 < x2. Если x1 > x2 или x1 = x2, то, соответственно, было бы y1 > y2 (в силу строгого возрастания функции f) или y1 = y2 (в силу однозначности), что противоречило бы неравенству (20.2). Таким образом, из неравенства (20.2) следует, что x1<x2, а это и означает строгое возрастание функции   на множестве Y.

В случае строго убывающей на множестве функции f доказательство можно провести аналогичным образом. □

Теорема 9. Пусть функция f определена, строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на отрезке [a, b]; тогда обратная функция  определена, однозначна, строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на отрезке с концами в точках f(a) и f(b).

Доказательство. Проведём доказательство теоремы для строго возрастающих функций. Пусть . В этом случае , поэтому из следствия 2 теоремы 8 следует, что множеством значений функции f является отрезок [c, d], т. е. [c, d] – область определения обратной функции .

В силу леммы 6, функция  однозначная и строго возрастает на отрезке [c, d].

Покажем, что функция  непрерывна на [c, d]. Пусть  и . Пусть , т. е. y0 – внутренняя точка отрезка [c, d], тогда, в силу строгого возрастания функции , . Зафиксируем некоторое e>0. Не ограничивая общности дальнейших рассуждений, можно считать, что e таково, что

 . (20.3)

Пусть . Тогда из условия (20.3), в силу строгого возрастания f, следует, что .

Возьмём d>0 так, чтобы  (см. рисунок). Если теперь выбрать y таким, что , то, тем более,  и, следовательно, в силу строгого возрастания функции , справедливо неравенство

.

Таким образом, для e > 0 указано такое d > 0, что для всех  выполняется неравенство

 ,

т. е. функция  непрерывна в точке y0. Если теперь y0 = c или y0 = d, то аналогичными рассуждениями доказывается, что функция  непрерывна справа в точке c и непрерывна слева в точке d. Теорема для строго возрастающих функций доказана.

В случае строго убывающей функции f доказательство можно провести аналогичным образом. □

20.2. Равномерная непрерывность

Функция f, заданная на отрезке [a, b], называется равномерно непрерывной на нём, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для любых двух точек  таких, что , выполняется неравенство .

Ясно, что всякая равномерно непрерывная на отрезке функция непрерывна на нём: если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точку x, то получится определение непрерывности в этой точке.

Теорема 10 (Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.

Доказательство. Докажем теорему от противного. Допустим, что на некотором отрезке [a, b] существует непрерывная, однако не равномерно непрерывная на нём функция f. Это означает, что существует такое e > 0, что для любого d > 0 найдутся такие точки , что , но . В частности, для  найдутся такие точки, обозначим их , что , но .

Из последовательности точек  в силу её ограниченности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Обозначим её предел x0:

  .

Поскольку , то . Функция f непрерывна в точке x0, поэтому

 . (20.4)

Подпоследовательность  последовательности  также сходится к точке x0, ибо при k®¥

  .

Поэтому

 . (20.5)

Из (20.3) и (20.4) следует, что

  ,

а это противоречит условию, что при всех k выполняется неравенство

 .

Полученное противоречие доказывает теорему. □

Пример. Показать, что непрерывная на интервале  функция  не является равномерно непрерывной на нём.


На главную