Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Контрольная по математике. Решение задач

Пример 7 Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).
Решение.

Найдем сначала уравнение стороны ОА (рисунок 5).
     
Аналогично, получим уравнение стороны ОВ.
     
Наконец, найдем уравнение третьей стороны АВ.
     
Как видно из рисунка 5, площадь треугольника равна сумме двух интегралов:
     
Рис.5
Рис.6


Пример 8 Вычислить площадь эллипса .


Решение.
В силу симметрии (см. рис.6), достаточно вычислить площадь полуэллипса, расположенного выше оси 0x, и затем результат умножить на 2. Площадь полуэллипса равна
     
Для вычисления данного интеграла используем тригонометрическую подстановку x = asin t, dx = acos tdt. Уточним пределы интегрирования. Если x = − a, то sin t = −1 и . Если x = a, то sin t = 1, . Таким образом, мы получаем
     
Следовательно, полная площадь эллипса равна πab.

Определение и свойства двойных интегралов

Определение двойного интеграла
Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных  z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как
где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл от функции одной переменной выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1).
Рис.1
Рис.2
Формально двойной интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник (рисунок 2). Используя ряд чисел { x0, x1, ..., xm }, разобьем отрезок [a, b] на малые интервалы таким образом, чтобы выполнялось соотношение
Аналогично, пусть множество чисел является разбиением отрезка [c, d] вдоль оси Oy, при котором справедливы неравенства
Суммой Римана функции f (x,y) над разбиением называется выражение
где - некоторая точка в прямоугольнике и .

Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения Δxi и Δyj стремятся к нулю:

Чтобы определить двойной интеграл в произвольной области R, отличной от прямоугольной, выберем прямоугольник , покрывающий область R (рисунок 3), и введем функцию g (x,y), такую, что
Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в произвольной области R определяется как
Рис.3
Рис.4
Рис.5
Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл обладает следующими свойствами:


  1. , где k - константа;

  2. Если в области R, то ;

  3. Если в области R и (рисунок 4), то ;

  4. Если на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то .
    Здесь означает объединение этих двух областей.

 

  Пример Пусть R и S являются непересекающимися областями (рисунок 5). Известны значения двойных интегралов:

     
Оценить интеграл .

Решение.
Используя свойства двойных интегралов, получаем:

     

Определение и свойства тройных интегралов

Определение тройного интеграла
Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана. Начнем с простейшего случая, когда область интегрирования U имеет вид параллелепипеда (рисунок 1).
Рис.1
Пусть множество чисел {x0, x1, ..., xm} разбивает отрезок [a, b] на малые интервалы, так что справедливо соотношение
Аналогично построим разбиение отрезка [c, d] вдоль оси Oy и [p, q] вдоль оси Oz:
Сумма Римана функции f (x,y,z) над разбиением имеет вид
Здесь (ui , vj , wk) - некоторая точка в параллелепипеде (xi−1, xi)×(yi−1, yi)×(zi−1, zi), а приращения равны
Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Δxi, Δyj и Δzk стремятся к нулю:
Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем параллелепипед , включающий заданную область U. Введем функцию g (x,y,z), такую, что
Тогда тройной интеграл от функции функции f (x,y,z) в произвольной области U определяется в виде:
Основные свойства тройного интеграла
Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:


  1. , где k - константа;

  2. Если в любой точке области U, то ;

  3. Если область U является объединением двух непересекающихся областей U1 и U2, то ;

  4. Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:
    где V - объем области интегрирования U.


  5. Теорема о среднем значении тройного интеграла.
    Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M0 U, такая, что
    где V - объем области U.

Пример 1 Оценить максимальное значение тройного интеграла

     
где U представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом R = 6.

Решение.
Уравнение шара имеет вид
     
Используя свойство 6, можно записать
     
где объем шара V равен
     
Максимальное значение M подынтегральной функции равно
     
Отсюда получаем верхнюю оценку тройного интеграла:
     

Пример 2 Оценить максимальное и минимальное значение тройного интеграла

     
где область U является параллелепипедом:
     

Решение.
Сначала вычислим объем области интегрирования U:
     
Оценка интеграла выглядит как
     
Здесь минимальное значение m подынтегральной функции равно
     
Соответственно, максимальное значение M составляет
     
Таким образом, оценка интеграла имеет вид

     


На главную