Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Контрольная по математике. Решение задач

Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признаки сравнения рядов
Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:
  • Если сходится, то также сходится;
  • Если расходится, то также расходится.
  • Предельные признаки сравнения рядов
    Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:
    Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1

    .

      Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд .

    Решение.
    Легко видеть, что для n > 1. Применяя далее признак сравнения, находим
         
    Поскольку ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2

    , то исходный ряд также сходится.

      Пример 2 Определить, сходится или расходится ряд .

    Решение.
    Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что для всех натуральных n. Ряд является обобщенным гармоническим рядом с p = 2 > 1

    и, следовательно, сходится.

    Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

    Пример 3 Исследовать сходимость ряда .

    Решение.
    Можно заметить, что для всех натуральных n. Тогда
         
    Поскольку − гармонический ряд, то он расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

    Пример 4 Определить, сходится или расходится ряд .

    Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции

    Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть для . Найти разложение Фурье для заданной параболической функции.

    Пример Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.

    Вычислить сумму ряда . Указание: применить формулу Парсеваля к функции f (x) = x.

    Определить, сходится или расходится ряд .

    Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале

    Пример Найти разложение в ряд Фурье функции:  

    Показать, что гармонический ряд расходится.

    Найти разложение функции в ряд Фурье-Эрмита.

    Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда .

    Найти ряд Маклорена для функции .

    Решение.
    Воспользуемся предельным признаком сравнения. Будем сравнивать заданный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Тогда
         
    Разделим числитель и знаменатель на n3:
         
    Следовательно, данный ряд сходится в соответствии с предельным признаком сравнения.

      Пример 5 Исследовать ряд на сходимость.

    Решение.
    Будем сравнивать наш ряд со сходящимся рядом . Получаем
         

    Следовательно данный ряд сходится согласно предельному признаку сравнения.

       Пример 6 Исследовать ряд на сходимость.

    Решение.
    Применяем предельный признак сравнения. Сравним с расходящимся гармоническим рядом . Вычислим предел отношения соответствующих членов обоих рядов:
         
    Таким образом, исходный ряд расходится.

    Пример 7 Определить, сходится или расходится ряд

         
    Решение.
    Используем предельный признак сравнения. Будем сравнивать со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Находим значение предела:
         

    Следовательно, ряд сходится.

    Комплексная форма рядов Фурье

    Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера

    можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:
    Мы использовали здесь следующие обозначения:
    Коэффициенты cn называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами
    Если нужно построить продолжение функции f (x), имеюшей произвольный период 2L, то соответствующее выражение в комплексной форме имеет вид:
    где

    Комплексная форма ряда Фурье алгебраически проще и более симметрична. Поэтому, она часто используется в физике и прикладных расчетах.

    Пример 1 Используя комплексную форму записи, найти разложение в ряд Фурье функции

         

    Решение.
    Вычислим коэффициенты c0 и cn (при n ≠ 0):
         
    Если n = 2k, то .
    Если n = 2k − 1, то .
    Следовательно, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:
         
    Данный ряд можно преобразовать и записать в действительных переменных. Обозначим: . Тогда
         
    График функции и ее ряд Фурье при n = 5 и n = 50 показаны на рисунке 1.
    Рис.1, n = 5, n = 50
    Рис.2, n = 2, n = 5

     

    Пример 2 Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале [−1, 1].


    Решение.
    Здесь полупериод равен L = 1. Поэтому c0 равен
         
    Для n ≠ 0 получаем
         
    Дважды интегрируя по частям, находим
         
    Подставляя sin nπ = 0 и cos nπ = (−1)n, получаем компактное выражение для коэффициентов cn:
         
    Таким образом, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид
         
    Учитывая, что , можно окончательно записать
         

    График данной функции и ее аппроксимации Фурье приведены ни рисунке 2 (выше).


    На главную