Задание
9. Разложить в ряд Лорана функцию 
в окрестности особой точки 
.
Решение. Воспользуемся известным разложением:
.
Задание
10. Для функции 
найти изолированные особые точки, провести их классификацию,
вычислить вычеты относительно найденных точек. Построенный многочлен 
называется интерполяционным
многочленом Лагранжа, а (5) – интерполяционной формулой Лагранжа.
a) 
;
б) 
;
в) 
.
Решение.
а). Особой точкой функции является
точка 
. Чтобы определить вид особой точки разложим
функцию в ряд Лорана по степеням 
:
Главная
часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит
- полюс. Порядок высшей отрицательной степени 
определяет порядок полюса. Следовательно, - полюс кратности 2. Вычет найдем,
используя формулу 
, тогда 
.
б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем
признак поведения функции в особой точке.
,
значит 
устранимая точка и, следовательно
.
Вычислить интегралы от функции комплексного переменного
Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах
Изменить порядок интегрирования в интеграле 
.
Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.
Найти объем тела 
, ограниченного
поверхностями 
Найти
массу пластинки (
): 
,
Найти массу тела , ограниченного поверхностями: 
; 
; 
; 
; плотность массы тела 
.
Вычислить криволинейный интеграл 
Вычислить массу дуги кривой (
) при заданной плотности 
:
Вычислить работу силы 
при перемещении единичной массы вдоль кривой
линии пересечения двух поверхностей: 
от точки 
до точки 
в). Особой точкой функции является
точка 
. Чтобы определить вид особой точки используем
разложение функции в ряд Лорана по степеням 
:
Главная
часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит - существенно особая точка. Тогда 
,
т.к. коэффициент при 
равен нулю.