Задание 9. Разложить в ряд Лорана функцию
в окрестности особой точки
.
Решение. Воспользуемся известным разложением:
.
Задание 10. Для функции
найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек. Построенный многочлен
называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а (5) – интерполяционной формулой Лагранжа.
a)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а). Особой точкой функции является точка
. Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням
:
Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит
- полюс. Порядок высшей отрицательной степени
определяет порядок полюса. Следовательно,
- полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу
, тогда
.
б). Особой точкой функции является точка
. Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.
, значит
устранимая точка и, следовательно
.
Вычислить интегралы от функции комплексного переменного
Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах
Изменить порядок интегрирования в интеграле
.
Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.
Найти объем тела
, ограниченного поверхностями
Найти массу пластинки (
):
,
Найти массу тела
, ограниченного поверхностями:
;
;
;
; плотность массы тела
.
Вычислить криволинейный интеграл
Вычислить массу дуги кривой (
) при заданной плотности
:
Вычислить работу силы
при перемещении единичной массы вдоль кривой линии пересечения двух поверхностей:
от точки
до точки
в). Особой точкой функции является точка
. Чтобы определить вид особой точки используем разложение функции в ряд Лорана по степеням
:
Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит
- существенно особая точка. Тогда
, т.к. коэффициент при
равен нулю.