Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Лекции и задачи второго семестра по математике

Сложение матриц

Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,

Суммой матриц  и  называется матрица

  (1.2)

О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями  и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов  и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению. Матрицы. Терминология Прямоугольная таблица действительных чисел

Принцип равенства Две действительные матрицы  и  называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.

Умножение матриц Скалярное умножение арифметических векторов Пусть . Для того чтобы, существовало произведение   необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы  должно совпадать с числом строк матрицы  (или порядок строк матрицы  должен совпадать с порядком столбцов матрицы ). Рассмотрим основные свойства умножения матриц

Теория делимости квадратных матриц Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.

Основные типы алгебраических структур Пример. Множество  является мультипликативной группой, т.е. операция умножения матриц определяет на этом множестве структуру группы. Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пример Построить матрицу  приведённого вида, Разложение матрицы в произведение простейших 1-й критерий обратимости матрицы. Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц. Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима очевидно.

Матричные уравнения Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

Найти матрицу , если .

  Пример Найти матрицу ,

Найти матрицу .

Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если .

 

Пусть  и  – действительные матрицы одного порядка, тогда

  (1.3)

Знак читается “равно по определению”, а отсутствие дополнительных указаний на возможные значения индексов  и  объясняется тем, что все матрицы, входящие в равенство (1.3), имеют одинаковый размер  при некоторых натуральных значениях  и  и, следовательно, .

Операция сложения матриц обладает рядом свойств, роднящих её с операцией сложения действительных чисел.

1) Операция сложения матриц коммутативна, т.е. для любых  и  из

  ◄ Пусть . Тогда

.

Здесь на первом и пятом шагах мы воспользовались обозначением суммы матриц, на втором и четвертом – определением суммы, а на третьем шаге – принципом равенства матриц. ►

2) Операция сложения матриц ассоциативна, т.е. для любых  и  из

3) Среди всех матриц множества  существует единственная матрица , обладающая свойством

  (1.4)

для любой матрицы  из .

 ◄ Рассмотрим матрицу порядка , все элементы которой равны 0. Ясно, что .

для любой матрицы  из . Тем самым показано существование матрицы , обладающей нужным свойством. Для доказательства её единственности покажем, что любая матрица  из , удовлетворяющая равенству (1.4) для любых  из , совпадает с матрицей . Действительно, если матрица   такая, как сказано выше, то одновременно выполняются равенства

  и .

Используя свойство коммутативности сложения матриц, получаем, что . ►

Матрица  называется нуль-матрицей, а свойство 3) – свойством существования и единственности нуль-матрицы.

4) Для любой матрицы  существует единственная матрица  такая, что

  (1.5)

 ◄ Пусть , тогда . Действительно,

.

Тем самым доказано существование матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5). Для доказательства её единственности предположим существование ещё одной матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5), т.е. равенству

  (1.6)

Тогда

.

В то же время,

. ►

Матрица  называется матрицей, противоположной матрице , и обозначается , а свойство 4) – свойством существования и единственности противоположной матрицы. С помощью противоположной матрицы вводится определение вычитания матриц, именно

.

5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой

 

Умножение матрицы на число

Пусть матрица  имеет вид (1.1), . Произведением матрицы  на число  называется матрица

.

Иначе говоря, умножение матрицы на число осуществляется поэлементно:

.

Отметим основные свойства введённой операции:

  ◄Действительно,

.  ►

 Заметим также, что противоположная матрица .


На главную