Математика Курсовая по Термеху Примеры решения задач Интеграл Физика Атомная физика Контрольная по физике Электроника Электротехника Электроэнергетика Тепловая и атомная энергетика Контрольная Школы дизайна Дизайн квартир Чертежи

Лекции и задачи второго семестра по математике

Предел функции

Задания для подготовки к практическому занятию

  Предел функции f(x) на бесконечности:  вычисляют так же, как предел последовательности, учитывая только, что х может стремиться к +¥ или к -¥.  Если предел функции при х®+¥ или х®-¥ существует и конечен, это

значит, что у графика функции имеется горизонтальная асимптота. Например, график функции  имеет асимптоту у=0 при х®±¥, а график функции y=arctgx – асимптоту  при х®+¥ и  при х®-¥. [an error occurred while processing this directive]

  Предел функции f(x) в точке a: – это (говоря упрощенно) число, к которому стремится значение функции, если ее аргумент стремится к а. Если функция непрерывна в точке а, это значит, что ее предел в этой точке равен ее значению: . Поэтому первым действием при вычислении предела функции является подстановка значения аргумента. Если при этом получилось конкретное число или бесконечность – это и есть искомый предел. Ряд Фурье Математика примеры решения задач

Именно, возможны следующие случаи:

.

 Если же при подстановке получается один из следующих вариантов:

- это так называемые неопределенности, то есть в зависимости от свойств конкретных функций пределы в этих случаях получаются разные. Вычисление предела в таких случаях требует применения приемов раскрытия неопределенности. Например, иногда можно упростить выражение, сократив неопределенность, как мы делали это при вычислении  предела последовательности.

Матрицы и определители

Задания для подготовки к практическому занятию Вопросы и задачи Задания для подготовки к практическому занятию Решить матричные уравнения АХ=В и YА=В.

Векторы

Найти площадь этого треугольника. Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения. Согласно ему, площадь треугольника АВС равна половине модулю векторного произведения векторов .

Предел последовательности Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…)

Вычислить  .

 Другим полезным приемом является применение эквивалентных функций из следующей таблицы: 


   (читают: sinх эквивалентна х если х стремится к нулю)

 

 

 

 

 

 

 

 

 Значение предела не изменится, если одну или несколько функций заменить на им эквивалентные. Однако при этом следует помнить, что никакая функция не может быть эквивалентна 0. То есть в сумме или разности эквивалентности не всегда можно применять.

Например, .

Но . Для этой функции справедливы будут следующие рассуждения:

.

Примеры.

1. Вычислить  .

Решение: подставим предельное значение аргумента:

.

2. Вычислить

Решение: подставив предельное значение аргумента убеждаемся, что имеет место неопределенность . Преобразуем выражение, умножив и разделив на сопряженное ():

.

3. Вычислить .

Решение: подставив предельное значение аргумента убеждаемся, что имеет место неопределенность . Поскольку аргумент функции sin стремится к 0 (3х®0), можем применить эквивалентность: . Таким образом, получаем:

.

4. Вычислить .

Решение:

(имеем право применять эквивалентность для функции ln, так как ее аргумент х2-3®1 и для экспоненты, так как ее аргумент х-2®0).


На главную