Контрольная по математике. Тема Линейная алгебра

Курсовые по Термеху и Сопромату
Выполнение курсовой
Статика
Кинематика
Уравнение движения точки
Динамика
Метод сечений
Расчеты на срез и смятие
Расчеты на прочность при изгибе
Механические испытания материалов
Виды зубчатых передач
Подшипники скольжения
Соединение деталей
Строительная механика
Радиоэлектроника
Монтаж радиоэлементов
и микросхем
Советы для радиолюбителя
Электротехника
Цепи однофазного синусоидального
тока и напряжения
Трехфазные цепи
Высшие гармоники в трехфазных цепях
Выпрямители
Резонанс в электрических цепях
Переходные процессы в электрических
цепях
Синтез электрических цепей
Расчет магнитной цепи с постоянным
магнитом
Электрическое поле трехфазной линии
электропередачи
Лабораторные работы
Полупроводниковые выпрямители
Изучение кенотронного выпрямителя
Изучение цепи переменного тока
Диэлектрики в электрическом поле
Физика
Магнитное поле соленоида
Магнитные свойства атомов
Явление электромагнитной индукции
Вынужденные электрические
колебания
Масса и энергия связи ядра
Двигатель внутреннего сгорания
Электрический ток в металлах
Магнитные моменты атомов
Астрономия
Квантовая механика
Физика атома
Цепная ядерная реакция деления
Явление электромагнитной индукции
Лекции и задачи второго семестра
по математике
Линейная алгебра
Предел функции
Производная функции
Двойной интеграл
Разложить в ряд Лорана функцию
Вычислить расходимость (дивергенцию
Сложение матриц
Вычисление длины дуги кривой
Объём цилиндрического тела
Функции комплексной переменной
Вычисление тройного интеграла
Вычислить работу силы
Моделирование систем
Школы дизайна
Баухауз в Ваймаре
Баухауз в Дессау
ВХУТЕМАС и ВХУТЕИН
Курсовые проекты студентов
ВХУТЕМАС
Тепловая и атомная энергетика
Электрические и тепловые сети
Тепловые электростанции
Атомные электростанции
Турбины и генераторы
Гидроэлектростанции
Водородная энергетика
Энергия ветра
Сокращение выбросов парниковых
газов в атмосферу
Сточные воды теплоэнергообьектов
Испытания атомного оружия
Ядерные испытания на
архипелаге Новая Земля
Радиационная обстановка
Советский атомный проект
Сверхмощные американские
испытания
Испытаний в атмосфере
Радиоактивные осадки
Семипалатинский полигон
Хранилища радиоактивных
отходов
Дозы гамма-излучения
Радиоактивное загрязнение

Системы линейных уравнений

Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:

 . (1)

Здесь x1,x2,¼,xn – неизвестные величины, aij (i=1,2,¼,m;
j=1,2,¼,n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс фиксирует номер уравнения, второй — номер неизвестной), b1,b2,¼,bm –числа, называемые свободными членами.

Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x1,x2,¼,xn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

Система, имеющая решение, называется совместной.

Если система имеет только одно решение, то она называется определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной).

Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Система, у которой все свободные члены равны нулю
(b1 = b2 =¼= bn = 0), называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор  из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратной.

Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы, и каждое решение второй системы является решением первой).

Две несовместные системы считаются эквивалентными.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Для приведенного преобразования и для всех дальнейших преобразований не следует целиком переписывать всю систему, как это только что сделано. Исходную систему можно представить в виде таблицы

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3)замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число

Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений.

Рассмотрим еще одну систему, имеющую бесконечно много решений

Сформулируем теперь кратко суть метода Гаусса. Полагая, что в системе коэффициент a11 отличен от нуля ( если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x1 и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x1 с помощью эквивалентных преобразований описанным выше способом.

Элементы теории матриц

Приведем примеры перемножения матриц

Таким образом, формула является записью системы m линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме. Ниже будет показано, что, записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и другие очень важные преимущества.

Применим для решения метод Жордана-Гаусса который является модификацией метода Гаусса.

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы – нули. Очевидно равенство A + (–1)A = 0. Здесь в правой части через 0 обозначена нулевая матрица той же размерности, что и матрица A. Квадратная матрица размера n называется единичной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули.

Определители Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Дадим определение определителя квадратной матрицы n-го порядка или просто определителя n-го порядка. (В дальнейшем, принимая во внимание введённое обозначение, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.)

Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному.

Вычисление определителя четвертого порядка сводится в худшем случае (если среди элементов нет нулей) к вычислению четырех определителей третьего порядка.

Вычисление обратной матрицы

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Предел и непрерывность функции Рассмотрим функцию y=x2 в точке x0=2.

Значение функции в этой точке равно 4. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся кx0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y=A.

Приведем свойства предела функции.

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Отметим два, так называемых, "замечательных предела"

Производная

Ниже приводится таблица производных элементарных функций

Дифференциал функции

Очевидны следующие свойства дифференциала.

Производные высших порядков.

Необходимые и достаточные условия экстремума функции Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f(x)>f(x0).

Выпуклость и вогнутость функции Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Рассмотрим пример из микроэкономики. В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Неопределенный интеграл. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F¢(x)=f(x).

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием. Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F¢(x)=f(x) соответствует формула òf(x)dx=F(x)+C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов

Замена переменной в неопределенном интеграле Если функция f(x) непрерывна, а функция j(t) имеет непрерывную производную j¢(t), то имеет место формула òf(j(t))j¢(t)dt =òf(x) dx, где x = j(t).

Формула интегрирования по частям Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv)¢=u¢v+v¢u

Определенный интеграл Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1,x2,x3,¼,xn-1, удовлетворяющие условию:
a< x1,< x2<¼< xn-1,<b.

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x=a; x=b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Определенный интеграл как функция верхнего предела Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция  является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x=a значение, равное нулю.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n®¥;l®0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное определение.

Функция нескольких переменных Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания или убывания.

Частные производные Частной производной по x функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется предел

 , если этот предел существует.

Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x функции z=f(x,y) нужно положить переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y нужно считать константой переменную x.

Дифференциал функции двух переменных

Производная по направлению. Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул x=x0+tcosa, y=y0+tsina.

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде   или . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора. Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Экстремум функции двух переменных. Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z=f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)<f(x0,y0) (f(x,y)> f(x0,y0)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Метод наименьших квадратов Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел – значений некоторых переменных x и y. Испытание с номером i приводит к числам xi,yi. В качестве испытания можно, например, рассматривать выбор определенного предприятия в данной отрасли промышленности, величиной x считать объем производства продукции (например в миллионах рублей), величиной y – объем экспорта этого вида продукции (в миллионах рублей), и обследовать n предприятий отрасли.

Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение a0(x)y¢ + a1(x)y=B(x). Заметим, что для задания начального условия, вообще говоря, не обязательно выбирать значение аргумента x, равное нулю.

Как сказано выше, выделить единственное решение из множества, задаваемого формулой (то есть определить константу А), можно с помощью любого соотношения y(x1) = y1, считая его начальным условием.

В качестве примера рассмотрим динамическую модель Вальраса устойчивости рынка. Она формулируется следующим образом. Имеется несколько продавцов и несколько покупателей некоторого товара. Некий посредник объявляет цену p на товар, после чего каждый продавец сообщает, сколько товара он может продать при такой цене.

Рассмотрим теперь линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Выпишем такое уравнение в общем виде: у¢+a(x)y=b(x) Пример.

Пример. Решить уравнение  при начальном условии y(1)=2. (Заметим, что в данном случае нельзя задавать начальное условие при x=0, так как это значение не принадлежит области B определения функции F

Для решения поставленной задачи можно было бы воспользоваться формулой (11), но мы пойдем другим путем: применим метод решения уравнений, которым была получена формула (11).

В нашем уравнении . Решение однородного уравнения  получается из формулы (10):

 . (12)

Реализуем теперь вариацию произвольной константы A, считая, что A=A(x) есть некоторая функция аргументаx. Тогда , и подставив это выражение вместе с приведенным выше выражением для y в исходное уравнение, получим:

 ,

откуда следует, что A¢(x)=x2 или . Если теперь подставить это в формулу (12), то получится общее решение исходного уравнения: . Спомощью начального условия найдем значение неопределенной константы C и выпишем решение поставленной задачи: .

Упражнения

1.Решить дифференциальные уравнения

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

;

16)

;

На главную