Теорема об эквивалентном генераторе
Формулировка теоремы: по отношению к выводам выделенной ветви или отдельного элемента остальную часть сложной схемы можно заменить а)эквивалентным генератором напряжения с ЭДС Еэ , равной напряжению холостого хода на выводах выделенной ветви или элемента (Еэ=Uxx) и с внутренним сопротивлением R0, равным входному сопротивлению схемы со стороны выделенной ветви или элемента (R0=RВХ); б)эквивалентным генератором тока с JЭ, равным току короткого замыкания на выводах выделенной ветви или элемента (Jэ=Iкз), и с внутренней проводимостью G0, равной входной проводимости схемы со стороны выделенной ветви или элемента (G0=Gвх).
Для доказательства п. а) теоремы удалим из схемы рис. 26а выделенную ветвь и между точками ее подключения измерим (рассчитаем) напряжение холостого хода Uxxab = ja-jb (рис. 26б).
Включим последовательно c выделенной ветвью два направленные встречно источника ЭДС, равные напряжению холостого хода (
) (рис. 26в). Такое включение дополнительных источников ЭДС не изменит режим сложной схемы, так как их действие взаимно компенсируется.
Определим ток в выделенной ветви по принципу наложения, как алгебраическую сумму из двух частичных токов: а)тока
, возникающего от независимого действия ЭДС
(рис. 26г); б) тока
, возникающего от совместного действия ЭДС
и всех источников сложной схемы (рис. 26д).
Частичный ток в схеме рис. 26г по закону Ома равен:
,
где Rвх– входное сопротивление схемы со стороны выделенной ветви.
Частичный ток в схеме рис. 26д равен нулю I¢¢0, так как E2=Uxx обеспечивает условия режима холостого хода ветви.
Результирующий ток в выделенной ветви равен:
.
Полученному уравнению соответствует эквивалентная схемы замещения рис. 27а, где остальная часть схемы заменена эквивалентным генератором напряжения с параметрами Eэ=Uxxаb,
, что и требовалось доказать.
(Еэ=Uxx)
Генератор напряжения (EЭ, R0) может быть заменен эквивалентным генератором тока (JЭ, G0) (рис. 27б) исходя из условия эквивалентности:
.
Параметры эквивалентного генератора тока могут быть определены (рассчитаны или измерены) независимым путем, как Jэ=Iкзаb , G0=Gвхаb, где Iкзаb - ток короткого замыкания в выделенной ветви.
Метод расчета тока в выделенной ветви сложной схемы, основанный на применении теоремы об эквивалентном генераторе, получил название метода эквивалентного генератора напряжения (тока) или метода холостого хода и короткого замыкания (х.х. и к.з.). Последовательность (алгоритм) расчета выглядит так.
1) Удаляют из сложной схемы выделенную ветвь, выполняют расчет оставшейся части сложной схемы любым методом и определяют напряжение холостого хода
между точками подключения выделенной ветви.
2)Удаляют из сложной схемы выделенную ветвь, закорачивают в схеме точки подключения выделенной ветви, выполняют расчет оставшейся части сложной схемы любым методом и определяют ток короткого замыкания Iкзаb в закороченном участке между точками подключения выделенной ветви.
3)Удаляют из схемы выделенную ветвь, в оставшейся части схемы удаляют все источники (источники ЭДС E закорачивают, а ветви с источниками тока J удаляют из схемы), методом преобразования выполняют свертку пассивной схемы относительно точек подключения выделенной ветви и таким образом определяют Rвхаb.
4) Составляют одну из эквивалентных схем замещения с генератором напряжения (рис. 27а) или с генератором тока (рис. 27б).
5) Выполняют расчет эквивалентной схемы (рис. 27а или рис. 27б) и находят искомый ток, например:
- по закону Ома для схемы рис. 27а;
- по методу двух узлов для схемы рис. 27б.
Так как между тремя параметрами эквивалентного генератора справедливо соотношение
, то для их определения достаточно рассчитать любые два из трех параметров согласно п.п. 1), 2), 3), а третий параметр определить из приведенного соотношения.
Пример. В схеме рис. 28 с заданными параметрами элементов (E1=100 В; E2=20 В; E3=30 В, E4=10 В; R1=R2=40 Ом; R3=R4=20 Ом; R5=R6=10 Ом) определить ток в выделенной ветви I6 методом эквивалентного генератора.
Решение задачи выполняется поэтапно.
1) Определение Uxx=Eэ в схеме рис. 29.
A;
A;
Þ
B
2) Определение Rвх=R0 в схеме рис. 30.
Ом
3) Расчет эквивалентной схемы рис. 31 и определение искомого тока I6.
A
Электрические цепи переменного синусоидального тока
1. Переменный ток (напряжение) и характеризующие его величины
Переменным называется ток i(t) [напряжение u(t)], периодически изменяющийся во времени по произвольному закону. В электроэнергетике понятие ’’переменный’’ употребляют в более узком смысле, а именно: под переменным понимают ток (напряжение), изменяющийся во времени по синусоидальному закону:
i(t)=Im sin(wt+yi),
u(t)=Umsin(wt+yu)
Графические диаграммы этих функций имеют вид рис. 32:
Время, за которое происходит одно полное колебание, называется периодом и обозначается буквой Т. Число полных колебаний (периодов) в единицу времени называется частотой f:
[Гц]
Из математики известно, что синусоидальная функция времени может быть описана вращающимся вектором со скоростью вращения w. В технике эта величина получила название угловой частоты:
w = 2pf =
[с-1] или [рад/с]
В выражениях функций i(t) и u(t) приняты обозначения:
u(t), i(t) или u, i - мгновенные значения функций, т.е. их значения в произвольно выбранный момент времени;
Um, Im - амплитудные (максимальные) значения функций;
(wt+y) - фаза, определяющая момент времени;
yu, yi – начальные фазы функций, определяющие их значения в момент t=0, зависят от выбора начала отсчета времени;
j = yu-yi – угол сдвига фаз (разность начальных фаз) между напряжением и током, не зависит от выбора начала отсчета времени.
Синусоидальная форма для функций токов и напряжений в электроэнергетике утверждена в качестве стандарта и является одним из показателей качества электроэнергии как товара.
Из физических законов следует, что при протекании синусоидального тока i=Imsinwt через любой линейный элемент электрической цепи напряжение на его зажимах также будет синусоидальным, и наоборот, при синусоидальном напряжении ток также будет иметь синусоидальную форму.
Из закона Ома для резистора R следует:
uR = Ri=RImsinwt=Umsinwt.
Из закона электромагнитной индукции для катушки L следует:
uL = - e =
= wLImcoswt = Umsin(wt+90°).
Из закона сохранения заряда для конденсатора С следует:
uC =
= Umsin(wt-90°).
Таким образом, в цепи переменного тока любой сложности напряжения и токи на всех участках будут изменяться по синусоидальному закону при условии, что источники энергии обеспечивают синусоидальную форму напряжений на их выводах.
Диапазон частот токов и напряжений, применяемых в различных отраслях современной техники, очень велик: от 10-1 Гц до 109 Гц. В электроэнергетике в качестве стандарта частоты в Европе принята частота f=50 Гц (w=2pf = 314 c-1), а в США и Канаде f = 60 Гц (w = 377 с-1), в других странах возможны оба варианта или один из них.
Частота f = 50 Гц принята в качестве стандарта исторически на заре развития электроэнергетики и уже не соответствует сегодняшнему уровню развития техники. Оптимальной на сегодня была бы частота в диапазоне 150 – 200 Гц. Однако переход на оптимальную частоту связан с большими техническими сложностями и в ближайшее время не может быть осуществлен.
2. Среднее и действующее значения переменного тока и напряжения
Среднее значение Fср произвольной функции времени f(t) за интервал времени Т определяется по формуле :
Численно среднее значение Fср равно высоте прямоугольника, равновеликого по площади фигуре, ограниченной кривой f(t), осью t и пределами интегрирования 0 – Т (рис. 33).
Для синусоидальной функции среднее значение за полный период Т (или за целое число полных периодов) равно нулю, так как площади положительной и отрицательной полуволн этой функции равны. Для переменного синусоидального тока (напряжения) среднее значение определяют за половину периода (Т/2) между двумя нулевыми значениями (рис. 34) :
Iср=
Imsinwt dt =
![]()
Im
Аналогично получим для напряжения:
![]()
Действующее значение переменного тока (напряжения) определяется как среднеквадратичное значение функции за период :
Аналогично получим для напряжения:
Количество энергии, выделяемое переменным током в резисторе R за время Т, по закону Джоуля будет равно W =
=I2RT, а активная мощность соответственно Р =
= I2R .
Таким образом, параметры электрической энергии на переменном токе (количество энергии, мощность) характеризуются действующими значениями напряжения U и тока I. По этой причине в электроэнергетике принято все теоретические расчеты и экспериментальные измерения выполнять для действующих значений токов и напряжений. В радиотехнике и в технике связи, наоборот, оперируют максимальными значениями этих функций.
Приведенные выше формулы для энергии и мощности переменного тока полностью совпадают с аналогичными формулами для постоянного тока. На этом основании можно утверждать, что энергетически постоянному току эквивалентно действующее значение переменного тока.
Синусоидальная функция времени, как периодическая функция, характеризуется следующими коэффициентами :
ка =
=
» 1,41- коэффициент амплитуды,
кф =
– коэффициент формы.